Мунданные дирекции - инструкция для астрологов


mundannye-direkcii

Понятие мунданных дирекций определяется по-разному среди разных авторов.

Эта статья вносит ясность в данный вопрос и объясняет геометрические и математические основы мунданных дирекций.

Статья предназначена для:

  1. астрологов, практикующих первичные дирекции, а также
  2. для программистов, которые создают астрологические программы

1. Геометрический аппарат первичного движения

1.1. Небесная сфера.

Если человек приходит в планетарий, чтобы полюбоваться на звезды, то картина звездного неба на сферическом экране планетария визуально неотличима от реальной картины неба.

Когда мы смотрим на реальные звезды, то можем вообразить, что перед нами сферический экран, на котором нарисованы небесные тела. Более того, этот сферический экран вращается вокруг оси, направленной от нас к полярной звезде.

Именно с этого представления начинается классическая сферическая геометрия звездного неба.

  • Наблюдатель стоит на земле.
  • Вокруг него раскинут горизонт, который визуально кажется одинаково удаленным во все стороны. То есть человек стоит как бы в центре круга, края которого - это пересечение земной поверхности и небесной сферы (того самого сферического экрана со звездами).

Посмотрите на рисунок ниже. Здесь небесная сфера разделена линией горизонта на верхнюю и нижнюю части. Наблюдатель стоит в центре этого круга, головой к югу.

Точка S - это юг, точка E - это восток. Все, что выше горизонта, это то, что происходит над головой наблюдателя. Все, что под горизонтом, скрыто от глаз наблюдателя.

Небесная сфера вращается вокруг своей оси так, что восточная часть сферы восходит, а западная заходит. Ось вращения сферы направлена на полярную звезду и указывает на северный полюс мира.

Небесные координаты

Рис 1. Небесная сфера и координаты

Линия, разделяющая небесную сферу на северную и южную части, называется экватором, а линия, разделяющая сфера на западную и восточную части, называется меридианом.

1.2. Небесные координаты

1.2.1. Эклиптические координаты

Плоскость, на которой находятся планеты, называется эклиптикой. Она отображена на рисунке 1 пунктирной синей линией. Как видите, плоскость эклиптики немного отклонена от плоскости экватора.

Точка пересечения экватора и эклиптики является началом отсчета градусов вдоль эклиптики/экватора.

С точки зрения эклиптической (то есть зодиакальной) окружности 0 градусов соответствует началу знака Овна. С точки зрения экватора эта точка соответствует точке весеннего равноденствия.

Как видно из рисунка 1, направление градусов эклиптики/экватора противоположно направлению вращения небесной сферы

Любую точку на небе (планету или звезду) можно охарактеризовать двумя координатами на небесной сфере.

Например, если через точку P провести перпендикуляр к плоскости эклиптики (рис. 1), то мы получим эклиптический градус этой точки (то есть градус проекции этой точки на эклиптику). Этот градус называется эклиптической долготой (или просто долготой (lon), или зодиакальным градусом).

Длина перпендикулярной дуги (то есть величина отклонения от эклиптики), называется небесной широтой (или просто широтой (lat)).

Комбинация широты и долготы однозначно определяет положение любой точки на небесной сфере. Эта комбинация называется эклиптическими координатами.

Например, Солнце в 12 градусах Рака имеет эклиптические координаты: долгота (lon) - 90 градусов и широта (lat) - 0 градусов.

1.2.2. Экваториальные координаты

Точно также можно спроецировать точку P на экватор (рис. 1). Отклонение от экватора называется склонением, D, а экваториальный градус, в который попала проекция точки P, называется прямым восхождением, RA

Комбинация прямого восхождения и склонения также однозначно определяет позицию любой точки на небесной сфере и называется экваториальными координатами.

Например, на рисунке 1 точка пересечения эклиптики с главным меридианом с южной стороны называется MC (medium coeli, вершина неба), а экваториальный градус этой точки обозначается RAMC

Как можно догадаться, небесная широта и склонение могут принимать значения в пределах от 0 до 90 градусов, а долгота и прямое восхождение - от 0 до 360.

Примечание. Принято считать, что небесная широта/склонение в сторону южного полюса мира принимают отрицательные значения, а в сторону северного полюса - положительные.

Как видно из рисунка 1, экваториальные и эклиптические координаты одной и той же точки разные. Например, долгота точки P составляет чуть больше 60 градусов, а прямое восхождение уже почти 90.

1.2.3 Переход из эклиптических координат в экваториальные

Эта секция приводится лишь для справки.

RArad = arctan(cos ɛrad · tg lonrad - sin ɛrad · tg latrad / cos lonrad)
Drad = arcsin(sin ɛrad · cos latrad · sin lonrad + cos ɛrad · sin latrad ),
где ɛdeg - угол наклона земной оси (23.44°)

Любой угол в радианах αrad и угол в градусах αdeg связаны формулой:

αrad / π = αdeg / 180

1.3. Разница восхождений

Давайте на секунду мысленно переместимся в горд Макапа (Бразилия). Он находится на земном экваторе. Здесь полярная звезда лежит прямо на горизонте, а северный полюс мира совпадает с локальным севером на горизонте наблюдателя (рис 2.).

Разница восхождений

Рис 2. Восхождение точки на экваторе

Экватор при этом образует прямой угол с горизонтом.

Теперь давайте посмотрим на точку P. Сейчас она под горизонтом, но спустя какое-то время t она окажется на горизонте.

Давайте взглянем на ту же картину, но уже в северных широтах.

Разница восхождений

Рис 3. Восхождение точки на северных широтах

Теперь из-за того, что мы находимся на севере, точка P оказалась глубже под землей. Спустя время t она будет видна в Макапе, но еще не будет видна в северных широтах. Нужно, чтобы прошло еще какое-то время, чтобы точка P взошла.

Разница во времени восхождения точки на экваторе и на местной широте называется разницей восхождений.

ADhour = Δ t = t - t'

В нашем случае t' > t, значит AD будет отрицательным. Если бы точка P имела северное склонение, то AD был бы положительным (как на рисунке 3 ниже). То есть сначала бы точку P увидел наблюдатель, а затем жители экватора.

Косое восхождение можно выразить в градусах из расчета того, что за 1 час небесная сфера поворачивается на 15 градусов:

ADdegree = Δ t · 15

Для справки. Разница восхождений вычисляется по заданному склонению D небесного тела и географической широте φ наблюдателя по формуле

ADrad = arcsin (tg φrad · tg Drad)

Любой угол в радианах αrad и угол в градусах αdeg связаны формулой:

αrad / π = αdeg / 180

1.4. Косое восхождение.

Следующий важный термин в геометрии небесной сферы - это косое восхождение. По определению косое восхождение - это экваториальный градус, который восходит в момент восхода точки P на горизонте. Можно также сказать, что это градус экватора, который со-восходит вместе с точкой P.

На рис. 3 вы видите точку P с северным склонением (то есть с положительной разницей восхождений ADP > 0). Точка E (то есть восток наблюдателя) со-восходит с точкой P на экваторе. Экваториальный градус точки E - это и есть косое восхождение точки P (то есть, OAP)

Косое восхождение

Рис 4. Косое восхождение

Как видно из рисунка, косое восхождение определяется формулой

OAP = RAP ± ADP (1)

Здесь ± равен '-' для точки P на восточной полусфере и '+' для точки P на западной.

1.5. Полудуги и меридианные расстояния

Переходим к следующему важному определению в геометрии небесной сферы. Окружность, которую очерчивает точка P в связи с вращением небесной сферы, называется часовым кругом точки P.. На рисунке 5 движение точки P по часовому кругу отображено пунктирной линией.

1.5.1. Верхнее меридианное расстояние

Отклонение в градусах точки P от верхней части главного меридиана вдоль часового круга, называется верхним меридианным расстоянием, UMD. Оно обозначено пунктирной линией на рисунке 5 ниже.

Верхнее меридианное расстояние

Рис 5. Верхнее меридианное расстояние и дневная полудуга

Как видно из рисунка 5, величина дуги UMD равна разнице экваториального градуса меридиана (RAMC) и экваториального градуса самой точки P:

UMDP = RAP - RAMC, если P на востоке (2)
UMDP = RAMC - RAP, если P на западе (2')
Если UMDP < 0, прибавляем 360

Здесь мы вычитаем меньший градус от большего, чтобы UMD оставалась в пределах 0 < UMD < 180.

Предположим, что RAMC равен 10 градусам, а планета на западе имеет RAP, = 350. Тогда по формуле (2') дуга будет равна минус 340 градусам. Если подобное случится, надо просто прибавить 360 к отрицательному значению дуги, чтобы получить настоящую длину дуги (20 градусов).

1.5.2. Дневная полудуга

Та часть часового круга небесного тела P, которая простирается от горизонта до RAMC, называется дневной полудугой, DSA. На рисунке 5 эта дуга обозначена сплошной линией рядом с пунктиром.

Если дождаться момента t', когда точки P, будет восходить, то

  1. Экваториальный градус точки E будет равен косому восхождению точки P, так как в этот момент точка E будет со-восходить именно с точкой P.
  2. Экваториальный градус самой точки P будет намного возвышаться над горизонтом на величину AD (см. рисунок 3 или рисунок 6 ниже)

Дневная полудуга

Рис 6.Дневная полудуга

Поскольку экваториальная дуга RAMC - E всегда равна 90 градусам, то:

DSAP = 90 + ADP (3)

Примечание. На рисунке 6, AD < 0, поэтому формула (3) даст дневную полудугу, меньше 90 градусов.

1.5.3. Нижнее меридианное расстояние и ночная полудуга

В полной аналогии с этими формулами мы определяем нижнее меридианное расстояние, LMD.

Нижнее меридианное расстояние

Рис 7. Нижнее меридианное расстояние и ночная полудуга

LMDP = RAIC - RAP, если P на востоке (4)
LMDP = RAP - RAIC, если P на западе (4')
Если LMDP < 0, прибавляем 360

Здесь RAIC - экаториальный градус точки IC (imum coeli, днище неба) - пересечения экватора с линией меридиана под горизонтом.

Мы можем легко определить ночную полудугу, NSA: Достаточно вспомнить, что сумма ночной и дневной полудуг равна 180 градусов.

NSAP = 90 - ADP (5)

2. Мунданные аспекты

2.1. Мунданные соединения методом полудуг

Существуют разные понятия соединения двух планет на сфере. Одно из самых популярных было предложено Птолемеем в 3-й книге Тетрабиблоса (параграф 10 о продолжительности жизни). Птолемей считал считал, что для небесного тела важен момент восхода над горизонтом, момент кульминации (то есть пересечения меридиана) и момент заката.

Путь планеты по дуге от восхода до кульминации отмеряет символический путь какого-либо явления от рождения (манифистации) до точки максимальной силы и дальнейшего угасания.

Поэтому важен не столько путь планеты по своему часовому кругу, сколько путь по символической дуге - восход-кульминация закат.

По мнению Птолемея две планеты считаются соединенными, если они находятся на одинаковой стадии этого символического пути. На рисунке ниже точки P и S соединены друг с другом, так как обе отклонены от меридиана на 2/3 от своих дневных полудуг.

Давайте выразим эту мысль математически.

Соединение планет по Птолемею

Рис 8. Соединение планет по Птолемею

λ = UMDP / DSAP (для дневных планет)
λ = LMDP / NSAP (для ночных планет)

λ, степень отдаления от кульминации - отношения расстояния от планеты до меридиана к длине ее полудуги. λ, равна 100%, когда планета на горизонте и 0%, когда планета кульминирует.

Две планеты считаются соединенными по методу полудуг, если они имеют одинаковую λ,.

2.2. Часовые дистанции

Давайте отмерим еще одну точку на экваторе, которая соединена с точками S и P, то есть имеет ту же степень отклонения от кульминации. Назовем ее точкой Q. Отклонение этой точки от меридиана, отнесенное на длину ее полудуги (90 градусов) будет равно нашему коэффициенту λ, так как она соединена с точками P и S:

MDQ / 90° = λ,

Величину MDQ = λ · 90° удобно выразить в часах. Напомню, что 15 градусов поворота сферы = 1 час времени. Величина MDQ, выраженная в часах называется часовой дистанцией

MDQ, hrsHD = λ · 90° / 15 (6)

Итак, формальное определение мунданного соединения методом полудуг звучит так: планеты считаются соединенными, если их часовые дистанции равны, то есть:

HDS = HDP

В нашем примере на рисунке 8 2/3 дневного пути точек S и P соответствует 2/3 от 90° на дневной полудуге экваториальной точки Q, и составляет 4 часа вращения земной оси. То есть у точек S и P часовые дистанции совпадают и равны 4 часам.

Если точка находится на меридиане, то есть кульминирует, ее часовая дистанция равна 0, если же точка находится на горизонте, то ее часовая дистанция равна 6 часам.

2.3. Мунданные аспекты

К сожалению, среди астрологов нет единого соглашения, что называть мунданными аспектами. Когда Птолемей подробно излагал метод полудуг, он просто упомянул, что в первичной дирекции можно соединять как сами планеты, так и аспекты к ним. Но что именно считать аспектом в мунданных дирекциях, он не разъяснил.

Поэтому существуют разные определения мунданного аспекта.

2.3.1. Мунданный аспект и с угол в плоскости эклиптики.

Это самое прямое понимание мунданного аспекта. Возьмите точку S, отложите от нее обычный зодиакальный аспект вдоль плоскости эклиптики, а затем спроецируйте полученую точку на часовую дугу точки S.

На рисунке ниже вы видите мунданный секстиль S' точки S.

Мунданный аспект

Рис 9. Мунданный аспект (определение 1)

2.3.2. Мунданный аспект и вращением небесной сферы

В этом понимании мунданный аспект - это количеством целых часов, которые прошли с момента восхода какой-либо точки на небесной сфере.

Посмотрите на рисунок ниже:

Мунданный аспект

Рис 9. Мунданный аспект (определение 2)

Пусть некоторое время назад три точки S, P и Q_со-восходили на горизонте. Затем 4 часа спустя будут со-восходить точки _S', P' и Q'

Эти новые точки являются мунданными секстилями к точкам S, P и Q соответственно. То есть секстиль - это 60 градусов оборота небесной сферы (или 4 часа звездного времени).

2.3.3. Мунданный аспект и положение относительно меридиана

В этом определении мунданный аспект - это разница часовых расстояний двух точек. Например, часовое расстояние точки на MC всегда равно 0. Часовое расстояние точки на ASC всегда равно 6. Тогда разница этих часовых расстояний будет равна 6, и это будет соответствовать мунданной квадратуре.

В этом определении любая точка на MC образует менданную квадратуру с любой точкой на горизонте.

Посмотрите на рисунок ниже.

Мунданный аспект

Рис 9. Мунданный аспект (определение 3)

Точки S, P и Q соединены друг с другом, у них одинаковое часовое расстояние (2 часа от меридиана). Точки S', P' и Q' имеют часовое расстояни равное 6, так как они находятся на горизонте. Значит каждая из этих точек является секстилем к точкам S', P' и Q' соответственно.

P.S. Хочу подчеркнуть, что данное определение мунданного аспекта связано с положением точки между восходом и кульминацией, а не с вращением сферы. Например, между восходами точек Q и Q' проходит реальные 4 часа, в то время как между восходами S и S' проходит чуть больше часа - это визульно заметно по тому, что дуга S-S' много короче чем дуга Q-Q'

3. Мунданные дирекции

3.1. Промиссоры и сигнификаторы

Представьте, что у вас есть две копии небесной сферы - на одной нанесено все, что есть на небе - планеты, созвездия, вершины домов, звездные скопления. А на второй - лишь то, что относится к натальной карте - планеты и вершины домов.

Теперь представьте, что изначально эти две сферы совпадают - они идеально наложены друг на друга и вы даже не подозреваете, что вас окружеют не одна, а сразу две сферы.

Но секундой спустя сфера, на которой нарисованы все небесные объекты, начинает вращаться. Вы видите как движущиеся "копии" планет начинают отходит от своих оригинальных фиксированных положений и двигаться вдоль своих часовых дуг.

Движущиеся планеты называют промиссорами. Фиксированные на момент рождения положения планет и домов на небесной сфере называют сигнификаторами.

Когда промиссор в своем движении делает точный мунданный аспект, это влечет за собой событие в жизни человека. А расстояние, которое надо пройти промиссору для встречи с сигнификатором, называется первичной дирекцией.

3.2. Мунданные дирекции к соединению с сигнификатором

В определении Птолемея мунданная дирекция промиссора к соединения с сигнификатором - это угловой путь планеты P, который та проделает до точки P', которая соединена с промиссором S (то есть имеет то же часовое расстояние) в направлении своего первичного движения.

На рисунке 10 ниже этот путь обозначен красной линией. Вы видите, что конечная точка P' этой дирекционной дуги имеет то же часовое расстояние (4 часа или 2/3 дневной полудуги), что и промиссор S.

Нижнее меридианное расстояние

Рис 10. Мунданные дирекции к соединению

Давайте найдем длину этой дуги. Запишем равенство часовых дистанций P' и S' в виде:

MDP' / SAP' = MDS / SAS = λ то есть

±(RAMC/IC - RAP') / SAP = MDS / SAS = λ (7)

В этой формуле

  • λ = UMDS /DSAS , SAP = DSAP , и RAMC/IC = RAMC для дневного сигнификатора S
  • λ = LMDS /NSAS , SAP = NSAP , и RAMC/IC = RAIC для ночного сигнификатора S
  • ± равен '+' для дневного промиссора на западе/ночного промиссора на востоке, и '-' для дневного промиссора на востоке/ночного промиссора на западе по формулам (2) и (4)

Теперь из формулы выше мы можем найти дирекционную дугу:

Arc = RAP - RAP' = RAP - RAMC/IC ± λ · SAP (8)

3.3. Мунданные дирекции к аспекту сигнификатора

Как бы мы не определили положение точки S' - аспекта сигнификатора S, дирекция промиссора к точке S' - это расстояние, которое точка P должна пройти до соединения с точкой S'. Соединение описывается формулой:

HDS' = HDP'

Как видно на рисунке ниже, секстиль S' сигнификатора S отклонен от меридиана на тот же процент, что и сопряженная с секстилем точка P' на часовой дуге промиссора P.

дирекция к мунданному аспекту

Рис 12. Дирекция к мунданному аспекту

Если мы выразим S' как RAS + дуга аспекта и подставим значение в формулу (7), то мы найдем долю отклонения λ' точки S' и точки P' от меридиана:

±(RAMC/IC - RAP') / SAP = ±(RAMC/IC - RAS - дуга аспекта) / SAS = λ' то есть

(RAMC/IC - RAP') / SAP = ±λ - (дуга аспекта / SAS ) = λ' то есть

Arc = RAP - RAP' = RAP - RAMC/IC ± λ · SAP - дуга аспекта · ( SAP / SAS ) (10)

В этой формуле

  • λ = UMDS /DSAS , SAP = DSAP , и RAMC/IC = RAMC для дневного аспекта S' сигнификатора S
  • λ = LMDS /NSAS , SAP = NSAP , и RAMC/IC = RAIC для ночного аспекта S' сигнификатора S
  • ± равен '+' для дневного промиссора на западе/ночного промиссора на востоке, и '-' для дневного промиссора на востоке/ночного промиссора на западе по формулам (2) и (4)

Формула (10) описывает мунданную дирекцию промиссора P к аспекту S' сигнификатора S.

  • Если дуга аспекта равна 0, то формула (10) превращается в формулу (8), то есть описывает простое мунданное соединение.
  • Если дуга аспекта равна 0 и λ равно 1 (сигнификатор на горизонте), то формула (10) превращается в OAP - RAASC/DSC , то есть разницу косого восхождения точки P и экваториального градуса ASC/DSC, то есть путь восточного/западного промиссора до ASC и DSC соответственно. На рис. 11 вы можете увидеть путь восточного промиссора до ASC - это расстояние вдоль красной линии от точки OAP* до пересечения экватора и горизонта.

Конечно, это далеко не все дирекции, которые предлагает система домов Плацида. Есть еще зодиакальные и орбитальные дирекции, которые выходят далеко за рамки этой статьи.

Если вы хотите глубже погрузится в тему первичных дирекций, рекомендую прочитать книгу "Primary Directions" (Bob Makransky), а также познакомиться с открытым программным кодом на языке Python, доступным по этой ссылке.